จำนวนเชิงซ้อน

แกน x เรียกว่า แกนจริง (real axis)

แกน y เรียกว่า แกนจินตภาพ (imaginary axis)

ระนาบ xy เรียกว่า ระนาบเชิงซ้อน (complex plane)

ดังนั้น รูปแบบของจำนวนเชิงซ้อน z = a +bi อาจจะเขียนอีกรูปคือ (a,b) ก็ได้

บทนิยาม 1.2 จำนวนเชิงซ้อน 2 จำนวน z₁=a+bi และ z₂=c+di จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ a=c และ b=d

การดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z₁ = a+bi และz₂=c+di

นิยาม 1.3 การบวก

z₁+z₂= (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i

นิยาม 1.4 การลบ

Z₁-z₂ = (a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i

นิยาม 1.5 การคูณ

z₁z₂ = (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(bc-ad)i

1.3 จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว (Pliar From of Complex Numbers)

จากบทนิยามการคูณและการหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน จะเห็นว่า การคูณจำนวนเชิงซ้อนหลายๆ จำนวน หรือยกกำลัง n หรือรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนมีความยุงยากซับซ้อน เราจึงหาวิธีการอื่นๆ มาช่วยให้แก้ปัญหานี้ได้ง่ายขึ้น

ถ้า เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะสามารถเขียนแทน z ด้วย เวกเตอร์ระนาบได้ดังนี้

ดังนั้นจึงอาจเขียนจำนวนเชิงซ้อน z ได้ในรูปใหม่เป็น

เรียกรูปแบบการเขียนจำนวนเชิงซ้อนที่เขียนในรูป ว่าเป็นรูปเชิงขั้ว (polar from) ของ z และเรียก ว่า อาร์กิวเมนต์ (argument) ของ z สังเกตว่าเมื่อ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ

ดังนั้น แสดงว่าถ้า เป็นอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z แล้ว เป็นอาร์กิวเมนต์ของ z ด้วย สำหรับทุกจำนวนเต็ม n

นอกจากนั้น ถ้า และ เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่า z₁ = z₂ ก็ต่อเมื่อ r₁ = r₂ และ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม

1.4 รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน (square Roots of Compkex Numbers)

ในหัวข้อนี้ จะแสดงการหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ และหาคำตอบของสมการกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง

ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ รากที่สองของ z คือ จำนวนเชิงซ้อน w ซึ่ง w²= z สังเกตว่า ถ้า w เป็นรากที่สองของ z แล้ว - w จะเป็นรากที่สองของ zด้วย และรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์จะมีเพียงสองจำนวนเท่านั้น

ต่อไปนี้จะแสดงวิธีหาสูตรเพื่อใช้ในการหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

ให้ z = x+ yi เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง x และ y เป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ พร้อมกัน และให้ w = a + bi เป็นรากที่สองของ z

ดังนั้น z = x + yi = w² = (a + bi)² = (a² – b²) + 2abi

จึงทำให้ได้ a² – b² = x ..........(1)

และ 2ab = y ……...(2)

แต่รากที่สองของ z มีเพียงสองจำนวนเท่านั้น เราจึงต้องเลือกเครื่องหมายของ a และ b ให้ถูกต้องโดยสังเกตจากสมการ (2) ซึ่งแสดงว่า 2ab = y นั่นคือ เครื่องหมายของผลคูณ ab ต้องเหมือนกับเครื่องหมายของ y เราเลือก a และ b ดังนี้